Ситникова, И. В. Мат.анализ. Практ
..pdfb
∫f (x )dx = F (x )ba = F (b )− F (a ).
a
2. Метод замены переменной (или метод подстановки). При вычислении определенного интеграла этим методом возможны два пути: либо, найдя первообразную функции, вернуться к первоначальной переменной и уже потом применить формулу Ньютона-Лейбница, либо, совершая подстановку, соответственно изменить и пределы интегрирования. Более целесообразным в
большинстве случаев является второй путь. |
|
|
|
||
Если f (x) |
непрерывна |
на отрезке [a; b], |
x =ϕ(t ) имеет непрерывную |
||
производную на отрезке [α; β], причем ϕ(α)= a , |
ϕ(β)= b , a ≤ϕ(t )≤ b , то |
||||
b |
β |
β |
|
|
|
∫ f (x)dx =∫ f (ϕ(t)) ϕ (t)dt = ∫g(t)dt = G(t) |
|
α = G(β)−G(α). |
|||
|
|||||
|
|
′ |
|
|
β |
a |
α |
α |
|
|
|
3. Метод интегрирования по частям. Если функции u(x) и υ(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то
∫b u(x)dυ(x) =u(x)υ(x) |
|
ba |
− ∫b υ(x)du(x) . |
|
|||
a |
a |
Геометрические приложения определенного интеграла
1) Вычисление площадей плоских фигур.
Y |
Y= F(Х) |
0 a |
b |
X |
|
Y |
|
рис. 1 |
|
a |
b |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
X |
Y= F(Х)
рис. 2
Y
Y=F2 (Х)
Если |
функция |
y = f (x) |
непрерывна |
и |
||
неотрицательна |
на |
отрезке |
[a; b], |
то, |
по |
геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, прямыми x = a , x = b и осью
Ox (рис. 1), равна S = ∫b |
f (x)dx . |
a |
|
|
|
Y=F1 (Х) |
Если |
функция |
y = f (x) |
непрерывна |
и |
0 a |
b |
X |
неположительна на отрезке [a; b], |
то площадь фигуры |
|||
|
рис. 3 |
|
|||||
над графиком функции на отрезке [a; b] (рис. 2) равна S = −∫b |
f (x)dx . |
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
41
Если y = f (x) - непрерывная на отрезке функция и ее график пересекает отрезок [a; b] оси Ox конечное число раз, то отрезок [a; b] разбивают на интервалы, на каждом из которых функция знакопостоянна, и на каждом таком промежутке находят площадь фигуры, используя соответствующую формулу.
Площадь фигуры (рис. 3), ограниченной прямыми x = a , |
x = b и |
непрерывными кривыми y = f1 (x) и y = f2 (x) такими, что f2 (x)≥ f1 (x) |
на отрезке |
[a; b], вычисляется по формуле |
|
S = ∫b (f 2 (x)− f1 (x))dx |
|
a |
|
2) Вычисление объема тел вращения.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией y = f (x), осью Ox и
прямыми x = a , x = b , вычисляется по формуле
b
V = π∫ f 2 (x)dx .
a
Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
Пусть функция y = f (x) |
определена и непрерывна на луче [a; + ∞), тогда, |
|
по определению, полагают +∞∫ f (x)dx = blim→+∞ ∫b |
f (x)dx . |
|
a |
a |
|
Интеграл в левой части равенства называется несобственным интегралом. Если существует конечный предел в правой части формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы:
∫b |
f (x)dx = alim→−∞ ∫b |
f (x)dx , |
+∞∫ f (x)dx = |
+∞∫ f (x)dx + ∫c |
f (x)dx = blim→+∞ ∫b |
f (x)dx + alim→−∞ ∫c |
f (x)dx , |
|
−∞ |
a |
|
−∞ |
c |
−∞ |
c |
a |
|
где c - произвольно выбранное число. Последний интеграл сходится, если каждый из интегралов, входящих в правую часть, сходится.
42
Задания 9
|
|
9.1. Вычислить определенные интегралы: 1) |
∫2 (x2 − 2x + 3)dx |
; 2) ∫1 |
dx |
2 ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
4 − x |
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
4 |
1 |
+ x |
1 |
dx |
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
||
3) ∫ |
|
|
|
|
|
dx ; 5) ∫ |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
x |
+ |
|
dx ; 4) |
∫ |
|
|
|
|
|
; 6) |
∫ 1 +3хdx ; 7) ∫ 1 + e 3 |
dx ; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(2x + |
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
0 |
1) |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
4 |
|
xdx ; 9) |
1 |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫sin 2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
−1x |
|
+ 2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2. Вычислить определенные интегралы, заменив переменную:
|
2 |
xdx |
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
4 |
|
x |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
e |
1 |
+ ln x |
|
|
|
π 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
∫1 |
|
|
|
|
; 2) |
∫(e |
|
|
−1) |
|
e |
|
|
dx |
; 3) ∫x |
x |
|
+9dx ; 4) |
∫ |
|
|
|
dx |
; 5) |
∫ |
sin x cos2 xdx ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||
(1 + x |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
6) |
∫2 |
xdx |
|
|
|
; 7) |
ln∫3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; 8) |
ln∫2 |
ex −1dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
x |
− e |
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
16 − x |
|
|
ln 2 e |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
9.3. Вычислить интегралы, интегрируя по частям: 1) ∫3 |
|
xdx |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π sin |
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
2∫π(2x −1)sin 2xdx ; 4) ∫e |
x2 ln xdx ; 5) ∫2 |
arcsin xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.4. Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями:
1) y = 4x2 +12x +9 , y = 0 , x = 0 ; 2) у = −х2 + 4х − 4, х = 0, у = 0 ; 3) y = 3 − x2 , y = 2x ;
4) y = x3 , y = −2x2 + 3x, x ≥ 0, y ≥ 0 ; 5) y = |
6 |
, y = 7 − x ; 6) y2 |
= 2x +1, x − y −1 = 0 . |
|
|||
|
x |
|
|
9.5. Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигуры, |
|||
ограниченной линиями: 1) y = 4 − x2 , у = 0, х = 0, где х ≥ 0 ; 2) |
y = 4x − x2 , y = x ; |
3)y = x3 , у =1, х = 0 .
9.6.Вычислить интегралы или установить их расходимость:
1) |
+∞ |
+∞ |
3x |
2 |
+1 |
|
+∞ |
dx |
|
|
+∞ |
arctgxdx |
|
∫e−x dx ; 2) |
∫ |
|
dx ; 3) |
∫ |
|
; 4) |
∫ |
. |
|||||
|
x |
|
(x +1) |
3 |
2 |
||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
x +1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
Домашнее задание № 9
|
1. |
Вычислить интегралы: 1) ∫ |
dx |
; 2) |
∫( 2x + 3 x)dx ; 3) |
1 |
dx |
; |
|||||||||||||
|
∫ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 + x2 |
0 |
|
0 |
3x +1 |
|
||||
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) ∫ |
|
|
2 |
; 5) ∫2 e |
|
|
dx ; 6) ∫ |
|
|
; 7) 3∫π xsin xdx ; 8) ∫e |
xln xdx . |
|
|
||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
2 −(ln x) |
|
|
1 x |
0 |
|
e |
+1 |
2π |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
2. |
Найти площади фигур, ограниченных линиями: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) y =3 + 2x − x2 , y = x +1; 2) y = 1 − x , y = x +1; 3) y = x2 , y = 2 − x2 . |
|
||||||||||||||||||||
|
3. |
Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигуры, |
|||||||||||||||||||
ограниченной линиями: 1) y = 0,5x2 − 2x, y = 0 ; 2) y = x2 , у = |
х. |
|
|
||||||||||||||||||
|
4. |
Вычислить интегралы или установить их расходимость: |
|
|
|||||||||||||||||
+∞ |
|
dx |
|
|
|
+∞ ln xdx |
+∞ (x 3 |
+1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) ∫ |
|
|
|
; 2) |
∫ |
|
|
|
; 3) ∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
(x + 2) |
4 |
x |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Функции нескольких переменных
Пусть имеются две переменные x и y . Если каждой паре их значений из некоторого множества D ставится в соответствие единственное число, то говорят, что на множестве D задана функция двух переменных z = f (x, y) .
Множество D называется областью определения функции. Множество всех значений, принимаемых переменной z, называется областью значений функции z = f (x, y) .
Аналогично определяется функция n переменных.
Линией уровня функции называется геометрическое место точек
плоскости xOy , в которых данная функция принимает постоянное значение
f (x, y) = const .
Частной производной функции нескольких переменных по одной из них называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращениюданнойпеременной, когдапоследнеестремитсякнулю.
44
Пусть |
|
, тогда z′ = lim |
f (x + ∆x, y) − f (x, y) |
- частная производная по |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
∆x→0 |
|
∆x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x , z′ = lim |
f (x, y + ∆y) − f (x, y) |
- частная производная по y , если эти пределы |
||||||||
|
||||||||||
y |
∆y→0 |
|
∆y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
существуют. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используются и другие обозначения: |
|
|
|
|||||||
z′x , f x′(x, y), |
∂z |
, ∂f ; z′y , |
f y ′(x, y), |
∂z |
, |
∂f . |
|
|||
∂x |
∂y |
|
||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие переменные постоянными. Так, частной производной по функции z = f (x, y) называется
обычная производная по , вычисленная в предположении, что – постоянная;
частной производной по |
функции |
z = f (x, y) |
называется производная по , |
||
вычисленная в предположении, что |
– постоянная. |
||||
Частные |
производные |
f x′(x, |
y), |
f y′(x, y) |
сами являются функциями |
переменных |
x и y и от них снова можно находить частные производные. |
Частные производные от частных производных функции называются
частными производными второго порядка.
Для функции двух переменных можно определить четыре частные производные второго порядка:
|
∂2 z |
= |
|
∂ |
|
∂z |
= z′xx′ |
- |
z дифференцируется последовательно два раза по x ; |
||||||||||||
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∂2 z |
|
|
= |
|
∂ |
∂z |
|
= z′xy′ |
- |
z сначала дифференцируется по |
x , а потом результат |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂x∂y |
|
∂y |
∂x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
дифференцируется по y (смешанная производная); |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ z |
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂z |
= z′у′x |
- |
z сначала дифференцируется по |
y , а потом результат |
||||||||
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∂у∂х ∂х |
|
∂у |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
дифференцируется по x (смешанная производная); |
|
||||||||||||||||||||
|
∂2 z |
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂z |
|
′′ |
- |
z дифференцируется последовательно два раза по y . |
||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂у |
2 |
|
|
|
∂у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∂у |
|
|
|
|
|
45
Если смешанные |
производные |
f ′′ |
f ′′ |
|
непрерывны, то результат не |
||||
xy , |
yx |
|
|||||||
зависит от порядка дифференцирования: f xy′′(x, |
y)= f yx′′ (x, y). |
|
|||||||
Если функция |
z = f (x, y) дифференцируема в точке M (x, y) , |
то в точке |
|||||||
Ì (x, y) существует производная по |
любому направлению l , исходящему из М. |
||||||||
|
|
|
∂z |
∂z |
|
|
∂z |
и cos β – |
|
Вычисляется она |
по |
формуле |
∂l = |
∂x cosα + |
|
cos β , где cosα |
|||
∂y |
|||||||||
направляющие косинусы вектора |
l . |
Производная функции по направлению |
характеризует скорость изменения функции в направлении вектора l . Градиентом функции z = f (x, y) называется вектор с координатами
(z′x ; z′y ) : gradz = z′x i + z′y j .
Для исследования функции двух переменных на экстремум пользуются схемой:
1) найти критические токи функции z = f (x, y) (точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют);
2) найти значения определителя ∆ для каждой критической точки, где
∆ = AC − B2 , A = fxx″(x0 , y0 ), C = fyy″(x0 , y0 ), B = fxy (x0 , y0 ) .
Если ∆ > 0 и A > 0 , то точка (x0 ; y0 ) - точка минимума функции z = f (x, y) .
Если ∆ > 0 и A < 0 , то точка (x0 ; y0 ) - точка максимума функции z = f (x, y) .
Если ∆ < 0 , то в точке (x0 ; y0 ) экстремума нет.
Если ∆ = 0 , то в точке (x0 ; y0 ) функции z = f (x, y) может иметь экстремум,
а может и не иметь его.
Если разыскивается экстремум функции двух переменных, которые связаны между собой уравнением g(x, y) = c , то говорят об условном экстремуме. Чтобы найти условный экстремум функции z = f (x, y) , составляют функцию Лагранжа F(x, y,λ) = f (x, y) + λ(g(x, y) − c) , где λ - неопределенный постоянный множитель, и находят экстремум функции F(x, y,λ) .
46
Наибольшее и наименьше значение (т.е. глобальный максимум и минимум)
функции z = f (x, y) определяется как наибольшее и наименьшее значение
функции в замкнутой области из ее значений в критических точках внутри области и на ее границе.
Пусть производится n наблюдений переменных х и у, между которыми существует зависимость y = f (x) . Согласно методу наименьших квадратов
параметры неизвестной функции следует выбирать так, чтобы сумма квадратов
n
S = ∑(f (xi − yi )2 была наименьшей. Предполагая, что между х и у существует
i=1
линейная зависимость y = ax + b найти значения неизвестных параметров a и b
можно из системы уравнений:
|
n |
|
|
∑xi2 |
|
|
a |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
∑xi |
a |
|
||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
+ |
∑xi b = ∑xi yi |
||
i=1 |
|
i=1 |
n .
+nb = ∑yi
i=1
Задания 10
|
10.1 Найти области определения функций и изобразить полученное |
||||||||||
множество на координатной плоскости: 1) z = |
1 |
|
; 2) z = ху; 3) z = ln(x + y) ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х + |
у |
|
4) |
z = arcsin |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
10.2 Построить линии уровня следующих функций: 1) z = xy : |
||||||||||
2) |
z = x + y ; 3) z = |
x |
; 4) |
z = |
у − х2 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
х2 |
|
|
|
10.3. Найти частные производные первого порядка от функций:
1) z = x3 + 3х2 у − у3 ; 2) z = |
х |
; 3) |
z = x2 sin y ; 4) z = x |
y + |
y ; 5) z = |
xy |
; |
|
x − y |
||||||
|
у |
|
3 |
x |
|
6) z = arctg xy ; 7) z = xye2 x+3 y .
47
10.4. Найти частные производные второго порядка: 1) z = |
|
|
х2 |
; |
|
1 |
− 2у |
2) z = xe y ; 3) z = sin x cos y ; 4) z = ln(x2 + y2 ) ; 5) z = x 2 y .
10.5.Найти производную по направлению биссектрисы первого координатного угла в точке M (1; 1) функции z = x3 у −5ху2 +8.
10.6.Найти производную функции z = x2 + у2 в точке M (1; 1) . Рассмотреть случаи, когда направление составляет с осью Ох угол: а) π3 ; б) π6; в) π2 .
10.7. Найти gradz и |
|
gradz |
|
: 1) z = 4 − x2 − y 2 в точке M (1; 2) ; 2) z = |
xy |
||
|
|
||||||
|
|
x2 + y 2 +1 |
|||||
|
2x |
||||||
|
|
||||||
в точке M (0; 3) ; 3) z = e |
x2 +y2 |
в точке M (1; 1) . |
|
||||
10.8. Найти экстремумы функции: |
|
1) z = x2 + y2 + xy − 4x − 5y ; 2) z = y 2 − x 2 + xy − 2x − 6 y ; 3) z = y x − y 2 − x + 6 y ;
4)z = 2x3 − хy2 +5x2 + у2 ; 5) z = xy − ln(x + y) ; 6) z = e x 2 (x + y 2 ).
10.9.Найти условные экстремумы функций: 1) z = ху2 при х + 2 у = 4 ;
2) z = 2х + у при х2 + у2 = 5 ; 3) z = 4 x 3 y ïðè 2x + 5y =100 .
10.10.Найти высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объема, если его полная поверхность равна 6π .
10.11.Из всех прямоугольных треугольников с гипотенузой а найти треугольник наибольшего периметра.
10.12. |
Общие |
издержки |
производства |
заданы |
функцией |
|
z = 0,5x 2 + 0,4 y 2 + 0,6xy + 700x + 600 y + 2000 , где х и |
у - |
соответственно |
количество товаров А и В. Общее количество произведенной продукции должно быть равно 500 ед. Сколько единиц товаров А и В нужно производить, чтобы издержки на их изготовление были минимальны?
10.13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в областях, задаваемых неравенствами:
1) z = x − 2 y + 5, x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤1; 2) z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤1 ;
48
3) z = ln(x + y), ( x − 2)2 |
+ ( y − 2)2 ≤1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10.14. Получить линейную зависимость y = àx +b по следующим данным: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
6 |
|
8 |
|
10 |
9 |
|
12 |
|
11 |
|
|
|
|
||
10.15. В результате |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
исследования зависимости между сроком эксплуатации |
||||||||||||||||||||
автомобиля и расходами на его ремонт получены следующие данные: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Т, ЛЕТ |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
6 |
|
7 |
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
S, ТЫС. |
120 |
|
140 |
|
|
230 |
|
370 |
|
|
445 |
|
570 |
|
655 |
770 |
|
|||
|
РУБ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) линейную зависимость стоимости ремонта автомобиля от срока эксплуатации; б) предполагаемую величину затрат на ремонт за 10-ый год эксплуатации.
Домашнее задание №10
1. Найти частные производные функций:
− y
1) z = 2x 2 − xy 2 + 3x 2 y − 2 y 3 + 3x − 4 y +1; 2) z = arcsin(xy); 3) z = e x ;
4) z = ln( x + 3 y).
2. Найти производную по направлению вектора a (6;8) для функции
|
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
в точке M (1; 2) . |
|
z = ln |
|
xy |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти gradz и |
|
gradz |
|
для функции z = (х − у)2 в точке M (1; 1) . |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
4. |
Найти экстремумы функций: 1) z = x 2 + y 2 |
− xy + 9x − 6 y + 20 ; |
||||||||||
2) |
z = xy 2 − xy 3 − xy (x > 0, y > 0) ; 3) z = |
|
xy |
. |
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ y2 |
|
|
|
|||
|
5. Найти условные экстремумы функций: |
|
|
|
|||||||||
1) |
z = х2 + у2 − xy + x + y при х + у + 3 = 0 ; |
2) z = |
1 |
+ |
1 |
при х + у = 2. |
|||||||
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
6. Получить линейную зависимость y = àx +b по следующим данным:
Х |
48 |
10 |
28 |
38 |
13 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
У |
2,5 |
0,7 |
1,5 |
2,1 |
0,7 |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
49
11. Дифференциальные уравнения
Дифференциальным называется уравнение, содержащее независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные (дифференциалы)
различных порядков.
Порядок старшей производной (дифференциала), входящей в
дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. |
|
|||||
Общий |
|
вид |
дифференциального |
уравнения |
n -ого |
порядка: |
′ |
(n ) |
)= 0 , |
причем переменная х, функция у |
и отдельные ее |
||
F (x, y, y ,..., y |
|
|||||
производные порядка ниже, чем n, могут и не входить в уравнение. |
|
|||||
Решением дифференциального уравнения называется |
функция |
y =ϕ(x), |
которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции у обращает его в тождество относительно х.
Множество всех функций, являющихся решением данного уравнения, называется общим решением уравнения. Общее решение дифференциального уравнения n -ого порядка содержит n произвольных независимых постоянных
C1 , C2 , ..., Cn : y =ϕ(x, C1 , C2 , ..., Cn ).
Каждое конкретное решение дифференциального уравнения называется частным. Оно получается из общего при некоторых конкретных значениях
постоянных C1 , C2 , ..., Cn . |
|
|
|
|
|
|
||
Задача |
нахождения |
решения |
y =ϕ(x) |
уравнения |
n -ого |
порядка, |
||
удовлетворяющего |
начальным |
условиям |
(условиям |
Коши): |
||||
y(x0 )= y0 , |
y′(x0 )= y1 ,…, |
|
y(n−1)(x0 )= yn−1 , где x0 , |
y0 , …, |
yn−1 |
- заданные числа, |
называется задачей Коши (начальной задачей).
Дифференциальные уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
y′ = f (x)g(y) |
или в виде M (x)N (y)dx + P(x)Q(y)dy = 0 , |
50